Per prima cosa, facciamo una migliore conoscenza di Poincaré. Come diceva uno dei suoi biografi, Jean Dieudonné, gli insegnanti di Poincaré al liceo della sua nativa Nancy, dove Poincaré solo raramente prendeva appunti in classe, lo avevano presto identificato come "il mostro della matematica", e tale rimase fino alla sua morte, sopraggiunta all'età di 58 anni, nel 1912: l'anno in cui il venticinquenne Marcel stava appena iniziando.
Poincaré era un genio matematico dell'ordine di Carl Friedrich Gauss. Non ancora trentenne divenne famoso nel mondo per la sua scoperta, tramite un ingegnoso uso della geometria non euclidea, di quelle che chiamò funzioni fuchsiane.
Sebbene Poincaré generalmente si tenesse bene informato sulle nuove idee in matematica, su questo particolare argomento il suo biografo si permette di osservare che "l'ignoranza di Poincaré della letteratura matematica, quando inizia le sue ricerche, è quasi incredibile. . . . Di certo non aveva mai letto Riemann " [5] - riferendosi a Bernhard Riemann, lo studente di Gauss che per primo ha definito la varietà n-dimensionale in una conferenza del giugno 1854. Quella conferenza (pubblicata più tardi) e la conclusiva raccolta degli appunti di Riemann in tre volumi, inaugurando un tipo di geometria non euclidea, è generalmente riconosciuta come un monumento nella storia della matematica.
Per oltre 2000 anni, gli Elementi di Euclide avevano regnato sovrani, spiegando con pochi assiomi le proprietà delle figure geometriche più complesse e il modo di ottenerle sia sul piano che nello spazio tridimensionale (3D). Ancora oggi, Euclide rimane la disperazione della maggior parte degli scolari alle loro prime lezioni; ma per certe menti i suoi Elementi erano e sono un momento culminante della conoscenza umana.
Per Albert Einstein, che ricevette all'età di 12 anni quello che chiamò "santo", il suo libro di geometria euclidea fu un vero e proprio "prodigio". Scrisse: "Qui c'erano delle asserzioni… che, sebbene niente affatto evidenti, potevano tuttavia essere provate con tale certezza che ogni dubbio sembrava essere fuori questione. Questa lucidità e certezza hanno fatto su di me un'impressione indescrivibile…" [6].
Anche Galileo fu stordito dal suo primo incontro con Euclide. Si dice che da giovane, destinato a diventare un medico, gli capitò di entrare in una stanza in cui veniva spiegata la geometria euclidea. Ne venne stregato e lo mise sulla strada della ricerca delle basi matematiche dei fenomeni naturali.
Per Immanuel Kant, naturalmente, la geometria euclidea era una necessità così ovvia per pensare alla matematica e alla natura che la proponeva come una esemplare sintesi a priori da costruirvi la trave portante della sua filosofia.
Ma dalla prima parte del diciannovesimo secolo, una ribellione a lungo covata prese a ribollire contro l'egemonia della geometria euclidea e specialmente per il suo cosiddetto quinto assioma; ossia, come i nostri libri di scuola descrivono maldestramente, che attraverso un punto vicino ad una linea retta può essere disegnata solo una linea che è parallela ad essa, ed entrambe si intersecano solo all'infinito. Qui i principali ribelli erano Riemann, l'ungherese János Bolyai e il russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky che, contravvenendo al quinto assioma, originavano altre geometrie.
L'iniziale ignoranza di Poincaré su questa particolare letteratura può definirsi felice, non solo perché la prosa turgida di Riemann non è divertente, ma soprattutto perché grazie ad essa l'approccio di Poincaré era libero di manifestarsi in modi del tutto personali e originali. 

II

È facile documentare il conservatorismo intellettuale di Poincaré, come ad esempio il suo rifiuto di accettare la teoria della relatività di Einstein e di aggrapparsi alla nozione di etere. Ma abbiamo imparato che, nella scienza come nelle arti, sono specialmente quegli innovatori molto al di sopra delle tradizionali competenze e sensibilità ad essere anche i meno ostacolati intellettualmente.
Tendono ad assumere ciò che comunemente a noi si mostrano come elementi contraddittori che  tuttavia nutrono in un qualche modo la loro creatività. E ci sono anche molte prove della volontà di Poincaré di affrontare con forza dei cambiamenti improvvisi. Questo tratto del suo carattere è emerso in modo sorprendente riguardo le sue idee attorno alla psicologia dell'invenzione e della scoperta.
Il riferimento qui può essere familiare, ma è così sorprendente che merita comunque di essere menzionato e letto con gli occhi degli artisti del tempo.
Mi riferisco alla conferenza "L'invenzione matematica", che Poincaré ha concesso nel 1908 alla Société de Psychologie di Parigi. Il bravo matematico Jacques Hadamard ha osservato che quella conferenza "getta una luce splendente sui rapporti tra il conscio e l'inconscio, tra il logico e il fortuito, che stanno alla base del problema [dell'invenzione in campo matematico ]"[7].
In quella conferenza, Poincaré raccontava della sua prima grande scoperta: la teoria delle funzioni fuchsiane e dei gruppi fuchsiani. Da due settimane aveva affrontato l'argomento con una strategia (tipica della matematica) cercando di dimostrare che tali funzioni non potevano esistere, e riferì nella sua conferenza: "Una sera, contrariamente alla mia abitudine, bevevo caffè nero e non riuscivo a dormire. Le idee si affollavano. Le ho sentite collidere tra loro finché le coppie non si sono unite, per così dire, creando infine una combinazione stabile"[8]. Durante quella notte insonne scoprì che poteva effettivamente costruire una classe di quelle funzioni, sebbene non sapesse ancora come esprimerle in una forma matematica adatta.
Poincaré ha spiegato in modo più dettagliato:

Giusto in quel periodo, mi ero allontanato da Caen, dove vivevo, per fare un'escursione geologica… L'occasione del viaggio mi ha fatto dimenticare il lavoro matematico che stavo svolgendo. Arrivati ​​a Coutance, prendemmo un omnibus per andare da qualche parte, e nel momento in cui mettevo il piede sul gradino, mi è venuta l'idea, senza che nulla nei miei pensieri precedenti gli avesse aperto la strada, che le trasformazioni che avevo usato per definire le funzioni fuchsiane fossero identiche a quelle della Geometria non-euclidea. Non ho verificato quell’idea; non avrei avuto il tempo, dato che, dopo essermi sistemato nell'omnibus, ho proseguito una conversazione già iniziata, ma ho provato una certezza perfetta. Al mio ritorno a Caen, per motivi di coscienza, ho verificato i risultati con tutto comodo.[9]

Poincaré analizzò queste intuizioni in questi termini: "La prima cosa che colpisce di più è l'apparizione di un'illuminazione improvvisa, un segno manifesto di un lungo lavoro precedente e inconscio. Il ruolo di questo lavoro inconscio nell'invenzione matematica mi sembra incontestabile." "Sembra, in questi casi, che uno sia presente al proprio lavoro inconscio, reso particolarmente sensibile dalla coscienza sovreccitata" [10].
Hadamard raccolse una serie di rapporti simili, in cui dall'incubazione continua sotterranea del subconscio appariva — in modo discontinuo e come una rottura di sorprendente intensità — la soluzione consapevole. Menzionò lo stesso Gauss, che parlò di una tale rottura come "un improvviso lampo di luce" e altre simili osservazioni espresse da Hermann Helmholtz, Wilhelm Ostwald e Paul Langevin — per non dimenticare Mozart, che parlò in modo memorabile della fonte dei suoi pensieri musicali come segue : "Da dove e come vengono? Non lo so, e non ho niente a che fare con questo."
Lo stesso Poincaré confessò la perplessità sulla fonte delle sue idee. Nel testo integrale del discorso di Poincaré del 1908, presto ampiamente letto nel capitolo 3 del suo popolare libro Scienza e Metodo (1908), confessò: "Sono assolutamente incapace persino di aggiungere senza errori, [e] allo stesso modo sarebbe, ma un povero giocatore di scacchi" [11]. Ma ha continuato a riferire di avere, l'impressione, per così dire, dell'intuizione, di questo ordine [per cui gli elementi del ragionamento devono essere posti] in modo tale che io possa percepire l'intera argomentazione a colpo d'occhio… Con questa sensazione possiamo afferrare l’intuizione di ordine matematico e ci permette di indovinare le armonie e le relazioni nascoste…[12]
In realtà, dopo l'intuizione arriva il travaglio: l'invenzione è il discernimento, la scelta. Ma per questo, deve essere data priorità alla sensibilità estetica nel privilegiare i fenomeni inconsci, "bellezza ed eleganza"[13]. Tra i suoi lettori, quanto deve essere sembrato congeniale agli artisti!
Poincaré aveva già discusso la natura della scoperta soprattutto in Scienza e Ipotesi. Un punto che in quel momento andava a colpire in modo particolare la certezza dei lettori francesi, era che i concetti e le ipotesi non ci sono date in modo univoco dalla natura stessa, ma sono in larga misura convenzioni scelte dal personale ricercatore per ragioni di convenienza, guidato da quella che Poincaré chiama "predilezione"[14]. Riguardo poi i principi della geometria, ha espresso la convinzione che si tratta solo di "convenzioni"[15]. Tuttavia, tali convenzioni non sono arbitrarie e alla fine devono conseguire in una matematica che "è sufficientemente d'accordo" con ciò che "possiamo confrontare e misurare per mezzo dei nostri sensi".
La Parte II di Scienza e Ipotesi, composta da tre capitoli, era dedicata alle geometrie non euclidee e multidimensionali. In quelle pagine non ci sono né equazioni né illustrazioni, ma grandi prodezze di tentativi di chiarimento per analogia. Per dare un solo esempio ampiamente notato: Nel tentativo di rendere plausibile lo spazio complesso della geometria superiore, Poincaré ha introdotto una differenza tra lo spazio geometrico e lo spazio concettuale o "rappresentativo". Quest'ultimo ha tre manifestazioni: spazio visivo, spazio tattile e spazio motorio. L'ultimo di questi è lo spazio in cui ci muoviamo, di cui scrive, evidenziato in corsivo, "Lo spazio motorio avrebbe tante dimensioni quanti muscoli"[16]. 

III

A dire il vero, questi e altri tentativi di Poincaré di divulgare le geometrie superiori devono aver eccitato solo il lettore profano non adeguatamente informato.
Fortunatamente, proprio in quel momento l'aiuto arrivò attraverso la divulgazione di queste idee da parte di altri, che migliorarono ulteriormente il barlume di matematica superiore nella immaginazione dei giovani artisti a Parigi. Uno di questi libri ha un ruolo importante nella nostra storia. Nel 1903, un anno dopo Scienza e Ipotesi, fu pubblicato a Parigi un volume intitolato Trattato elementare sulla geometria di quattro dimensioni. Un'introduzione alla geometria di n-dimensioni [17]. In esso, le idee e le pubblicazioni di Poincaré sono richiamate in modo specifico e ripetuto, dalla seconda pagina in poi. L'autore era una figura ormai quasi dimenticata, il matematico E. Jouffret (la lettera E. nasconde i suoi meravigliosi nomi di battesimo: Esprit Pascal). Nel 1906 aggiunse un trattamento più rigoroso, nel suo volume Mélanges de géométrie à quatre dimensions [18]. Ci sono anche molte prove che un amico della cerchia di artisti a Parigi, un agente assicurativo di nome Maurice Princet, era ben informato sulla nuova matematica e fungeva da intermediario tra i pittori e i libri come quelli di Jouffret. C'è una ricchezza di borse di studio da storici dell'arte in questo caso; secondo me il miglior presentatore dell'impatto, specialmente dei libri di Jouffret, è Linda Dalrymple Henderson, che ne ha discusso in due volumi: La quarta dimensione e la geometria non euclidea nell'arte moderna e anche Duchamp in Context [19].
Trarrò da queste fonti senza vergogna.
Naturalmente la geometria non euclidea era in circolazione da molti decenni, Lobachevsky ne scriveva nel 1829 e Bolyai nel 1832. Ma fino al 1860 entrambi furono poco letti persino dai matematici.
Poi, per due decenni attorno al 1900, una crescente ondata di letteratura, professionale e popolare, alimentò l'entusiasmo per quella quarta dimensione spaziale invisibile.
Questo fenomeno culturale potrebbe avere una varietà di possibili spiegazioni. Innanzitutto, non bisogna dimenticare che questa branca della matematica era ancora in prima fila nel vivace dibattito tra gli stessi matematici. C'erano circa 50 professionisti significativi in ​​Europa e negli Stati Uniti che lavorano in quell'area. In secondo luogo, a prescindere da costoro, la nuova geometria poteva rappresentare un concetto liberatorio, suggerendo una sfera di pensiero immaginativa non necessariamente connessa al mondo fisico materialistico che era stato presentato dalla scienza del diciannovesimo secolo - che in ogni caso era essa stessa in rivolta grazie a una splendida serie di nuove scoperte. E, soprattutto, le nuove geometrie si prestavano a meravigliosi e persino mistici eccessi dell'immaginazione, specialmente tra artisti figurativi, musicisti e letterari. Tra cui Dostoevskij, HG Wells, lo scrittore di fantascienza Gaston de Pawlowski, l’Alfred Jarry della pata-fisica, Marcel Proust, il poeta Paul Valéry, Gertrude Stein, Edgar Varèse, George Antheil, gli influenti cubisti Albert Gleizes e Jean Metzinger, e così via - per non parlare di Ouspensky e dei Teosofisti.
Alcuni pittori erano espliciti sul loro interesse. Kazimir Malevich ha dato il sottotitolo Masse di colore nella quarta dimensione ad una sua opera del 1915 e, nel 1947, il surrealista Max Ernst ha eseguito un dipinto che ha intitolato L'homme intrigué par le vol d'une mouche non-euclidienne.